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李冶（1192年－1279年），原名李治，字仁卿，號(hào)敬齋，謚號(hào)文正，真定欒城（今河北欒城縣）人，金元時(shí)期文學(xué)家、數(shù)學(xué)家。他的主要著作有《測(cè)圓海鏡》《益古演段》等，其中《測(cè)圓海鏡》改進(jìn)了前人解方程方法，首次系統(tǒng)闡述“天元術(shù)”，與楊輝、秦九韶、朱世杰并稱為“宋元數(shù)學(xué)四大家”。

生平

早年生活

李冶進(jìn)士出身，任鈞州（今河南禹縣）知事。晚年居元氏封龍山，從學(xué)者甚眾。著有《測(cè)圓海鏡》、《益古演段》，對(duì)中國(guó)古代代數(shù)方法天元術(shù)（中國(guó)古代建立數(shù)學(xué)高次方程的方法）有重要貢獻(xiàn)，是我國(guó)流傳至今的最早的天元術(shù)著作。父親李遹為大興府推官。李遹是位博學(xué)多才的學(xué)者，曾在大興府尹胡沙虎手下任推官，母親姓王。李冶有兩個(gè)同父異母的弟兄，兄名澈，劉氏所生；弟名滋，崔氏所生；還有兩個(gè)同胞姐妹。李冶原名叫李治，因?yàn)槌⒔蛊矫窈凸糯弁跬?，而他的名字又和唐高宗的名字相同，于是就減去了一個(gè)點(diǎn)，改名叫李冶。

李冶自幼聰敏，喜愛讀書，曾在元氏縣（今河北省元氏縣）求學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)和文學(xué)都很感興趣?！对际侣浴分姓f(shuō)：“公（指李冶）幼讀書，手不釋卷，性穎悟，有成人之風(fēng)?！?/p>

李冶出生的時(shí)候，金朝正由盛而衰。章宗即位（1190）后，官僚政治日趨腐敗。由于管理不善，釀成了連年水災(zāi)。再加上對(duì)外戰(zhàn)爭(zhēng)及任意揮霍，金朝出現(xiàn)了財(cái)政危機(jī)，于是濫發(fā)紙幣，致使物價(jià)飛漲，國(guó)虛民窮。泰和八年（1208），金章宗病死，衛(wèi)紹王允濟(jì)即皇帝位。這時(shí)蒙古軍隊(duì)加緊向金朝進(jìn)攻，腐朽的金朝內(nèi)已潛伏著亡國(guó)的危機(jī)。李遹的上司胡沙虎是一個(gè)深得朝廷寵信的奸臣，“聲勢(shì)炎炎，人莫敢仰視”，動(dòng)輒打罵同僚，欺壓百姓，甚至“虐殺不辜”。李遹見他無(wú)惡不作，常常據(jù)理力爭(zhēng)，置個(gè)人生死禍福于度外。只因?yàn)楣僦?jǐn)慎，才免遭毒手。李遹為了防備不測(cè)，便把老小送回故鄉(xiāng)欒城。這時(shí)李冶正是童年，他沒(méi)有隨家人回鄉(xiāng)而獨(dú)自到欒城的鄰縣元氏求學(xué)去了。至寧元年（1213），由于胡沙虎篡權(quán)亂政，李遹被迫辭職，隱居陽(yáng)翟，從此不再過(guò)問(wèn)政事。

父親的正直為人及好學(xué)精神對(duì)李冶深有影響。在李冶看來(lái)，學(xué)問(wèn)比財(cái)富更可貴。他說(shuō)：“積財(cái)千萬(wàn)，不如薄技在身”，又說(shuō)：“金璧雖重寶，費(fèi)用難貯蓄。學(xué)問(wèn)藏之身，身在即有余?！彼谇?p> 少年時(shí)期

，對(duì)文學(xué)、史學(xué)、數(shù)學(xué)、經(jīng)學(xué)都感興趣，曾與好友元好問(wèn)外出求學(xué)，拜文學(xué)家趙秉文、楊云翼為師，不久便名聲大振。

1230年，李冶在洛陽(yáng)考中詞賦科進(jìn)士，正大七年（1230），李冶赴洛陽(yáng)應(yīng)試，被錄取為詞賦科進(jìn)士，時(shí)人稱贊他“經(jīng)為通儒，文為名家”。同年得高陵（今陜西高陵）主簿官職，但蒙古窩闊臺(tái)軍已攻入陜西，所以沒(méi)有上任。接著又被調(diào)往陽(yáng)翟附近的鈞州（今河南禹縣）任知事，為官清廉、正直。

北渡避難

1232年，鈞州城被蒙古軍隊(duì)攻破。李冶不愿投降，只好換上平民服裝，北渡黃河避難。這是他一生的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，將近50年的學(xué)術(shù)生涯便由此開始了。

李冶北渡后流落于山西的忻縣、崞縣之間，過(guò)著“饑寒不能自存”的生活。一年以后（1233），汴京（今河南開封）陷落，元好問(wèn)也棄官出京，到山西避難。1234年初，金朝終于為蒙古所滅，李冶與元好問(wèn)都感到政事已無(wú)可為，于是潛心學(xué)問(wèn)。李冶經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的顛沛流離之后，定居于崞山（今山西崞縣）的桐川。金朝的滅亡給李冶生活帶來(lái)不幸，但由于他不再為官，這在客觀上使他的科學(xué)研究有了充分的時(shí)間。他在桐川的究工作是多方面的，包括數(shù)學(xué)、文學(xué)、歷史、天文、哲學(xué)、醫(yī)學(xué)。其中最有價(jià)值的工作是對(duì)天元術(shù)進(jìn)行了全面總結(jié)，寫成數(shù)學(xué)史上的不朽名著——《測(cè)圓海鏡》。他的工作條件是十分艱苦的，不僅居室狹小，而且常常不得溫飽，要為衣食而奔波。但他卻以著書為樂(lè)，從不間斷自己的寫作。據(jù)《真定府志》記載，李冶“聚書環(huán)堵，人所不堪”，但卻“處之裕如也”。他的學(xué)生焦養(yǎng)直說(shuō)他：“雖饑寒不能自存，亦不恤也”，在“流離頓挫”中“亦未嘗一日廢其業(yè)”。經(jīng)過(guò)多年的艱苦奮斗，李冶的《測(cè)圓海鏡》終于在1248年完稿。它是我國(guó)現(xiàn)存最早的一部系統(tǒng)講述天元術(shù)的著作。

定居講學(xué)

1251年，李冶的經(jīng)濟(jì)情況有所好轉(zhuǎn)，他結(jié)束了在山西的避難生活，回元氏縣封龍山定居，并收徒講學(xué)。李冶的學(xué)生越來(lái)越多，家里逐漸容納不下了，于是師生共同努力，在北宋李遹讀書堂故基上建起封龍書院。李冶在書院不僅講數(shù)學(xué)，也講文學(xué)和其他知識(shí)。他嘔心瀝血，培養(yǎng)出大批人才，并常在工作之余與元好問(wèn)、張德輝一起游封龍山，被稱為“龍山三老”。1257年在開平（今內(nèi)蒙古正藍(lán)旗）與金朝遺老竇默、姚樞、李俊民等多人接受忽必烈召見，又派董文用專程去請(qǐng)李冶，說(shuō)：“素聞仁卿學(xué)優(yōu)才贍，潛德不耀，久欲一見，其勿他辭?！蓖晡逶?，李冶在開平（今內(nèi)蒙古正藍(lán)旗）見忽必烈，陳述了自己的政治見解：“為治之道，不過(guò)立法度、正紀(jì)綱而已。紀(jì)綱者，上下相維持；法度者，賞罰示懲勸?！痹谡劦饺瞬艈?wèn)題時(shí)，他說(shuō)：“天下未嘗乏材，求則得之，舍則失之，理勢(shì)然耳?！弊詈?，他向忽必烈提出“辨奸邪、去女謁、屏饞慝、減刑罰、止征伐”五條政治建議，得到忽必烈的贊賞。

李冶會(huì)見忽必烈之后，回封龍山繼續(xù)講學(xué)著書，于1259年寫成另一部數(shù)學(xué)著作——《益古演段》。1260年，忽必烈即皇帝位，是為元世祖。第二年七月建翰林國(guó)史院于開平，聘請(qǐng)李冶擔(dān)任清高而顯要的工作——翰林學(xué)士知制誥同修國(guó)史。但李冶卻以老病為辭，婉言謝絕了。從時(shí)代背景及李冶思想分析，他拒絕應(yīng)聘的原因有二。第一，蒙古統(tǒng)治者沒(méi)有接受李冶“止征伐”的建議，而是大舉攻宋，從而引起李冶不滿；第二，忽必烈初登帝位，其弟阿里不哥不服，起兵反抗，蒙古統(tǒng)治區(qū)陷入連年內(nèi)戰(zhàn)。李冶是不愿在這種動(dòng)蕩的局勢(shì)下作官的。他說(shuō)：“世道相違，則君子隱而不仕?！?/p>

忽必烈降服阿里不哥、平定蒙古內(nèi)亂后，再召李冶為翰林學(xué)士知制誥同修國(guó)史。李冶于至元二年（1265）來(lái)到燕京（今北京），勉強(qiáng)就職，參加修史工作。但他不久便感到翰林院里思想不自由，處處都要秉承統(tǒng)治者的旨意而不能暢所欲言。因此，他在這里工作一年之后便以老病辭職了。李冶是個(gè)追求思想自由的人，尤其不愿在學(xué)術(shù)上唯命是從。他說(shuō)：“翰林視草，唯天子命之；史館秉筆，以宰相監(jiān)之。特書佐之流，有司之事，非作者所敢自專而非非是是也。今者猶以翰林、史館為高選，是工諛譽(yù)而善緣飾者為高選也。吾恐識(shí)者羞之?！?/p>

李冶辭職后一直在封龍山下講學(xué)著書。他在晚年完成的《敬齋古今黈（音tǒu）》與《泛說(shuō)》是兩部?jī)?nèi)容豐富的著作?！斗赫f(shuō)》一書今已不存，據(jù)《元朝名臣事略》中引文及書名判斷，《泛說(shuō)》是記錄李冶對(duì)各種事物見解的隨感錄?！毒待S古今黈》則是李冶的讀書筆記，“上下千古，博極群書”，在文史方面頗有獨(dú)到見解。另外，李冶作過(guò)不少詩(shī)，其中有五首保存在《元詩(shī)選癸集》中。從這些詩(shī)來(lái)看，李冶的文學(xué)造詣相當(dāng)深。李冶還著有《文集》40卷與《璧書叢削》12卷，均已失傳。1279年，李冶病逝于元氏。李冶在數(shù)學(xué)上的主要成就是總結(jié)并完善了天元術(shù)，使之成為中國(guó)獨(dú)特的半符號(hào)代數(shù)。這種半符號(hào)代數(shù)的產(chǎn)生，要比歐洲早三百年左右。他的《測(cè)圓海鏡》是天元術(shù)的代表作，而《益古演段》則是普及天元術(shù)的著作。

隨著高次方程數(shù)值求解技術(shù)的發(fā)展，列方程的方法也相應(yīng)產(chǎn)生，這就是所謂“開元術(shù)”。在傳世的宋元數(shù)學(xué)著作中，首先系統(tǒng)闡述開元術(shù)的是李冶的《測(cè)圓海鏡》。李冶一生著作雖多，但他最得意的還是《測(cè)圓海鏡》。他在彌留之際對(duì)兒子克修說(shuō)：“吾平生著述，死后可盡燔去。獨(dú)《測(cè)圓海鏡》一書，雖九九小數(shù)，吾常精思致力焉，后世必有知者。庶可布廣垂永乎？”

李冶的數(shù)學(xué)研究是以天元術(shù)為主攻方向的。這時(shí)天元術(shù)雖已產(chǎn)生，但還不成熟，就像一棵小樹一樣，需要人精心培植。李冶用自己的辛勤勞動(dòng)，使它成長(zhǎng)為一棵枝葉繁茂的大樹。

主要貢獻(xiàn)

天元術(shù)

所謂天元術(shù)，就是一種用數(shù)學(xué)符號(hào)列方程的方法，“立天元一為某某”相當(dāng)于今“設(shè)x為某某”是一致的。在中國(guó)，列方程的思想可追溯到漢代的《九章算術(shù)》，書中用文字?jǐn)⑹龅姆椒ń⒘硕畏匠?，但沒(méi)有明確的未知數(shù)概念。到唐代，王孝通已經(jīng)能列出三次方程，但仍是用文字?jǐn)⑹龅?，而且尚未掌握列方程的一般方法。?jīng)過(guò)北宋賈憲、劉益等人的工作，求高次方程正根的問(wèn)題解決了。隨著數(shù)學(xué)問(wèn)題的日益復(fù)雜，迫切需要一種普遍的建立方程的方法，天元術(shù)便在北宋應(yīng)運(yùn)而生了、洞淵、石信道等都是天元術(shù)的先驅(qū)。但直到李冶之前，天元術(shù)還是比較幼稚的，記號(hào)混亂、復(fù)雜，演算煩瑣。例如李冶在東平（今山東省東平縣）得到的講天元術(shù)的算書中，還不懂得用統(tǒng)一符號(hào)表示未知數(shù)的不同次冪，它“以十九字識(shí)其上下層，曰仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼?！边@就是說(shuō)，以“人”字表示常數(shù)，人以上九字表示未知數(shù)的各正數(shù)次冪（最高為九次），入以下九字表示未知數(shù)的各負(fù)數(shù)次冪（最低也是九次），其運(yùn)算之繁可見一斑。從稍早于《測(cè)圓海鏡》的《鈴經(jīng)》等書來(lái)看，天元術(shù)的作用還十分有限。李冶則在前人的基礎(chǔ)上，將天元術(shù)改進(jìn)成一種更簡(jiǎn)便而實(shí)用的方法。當(dāng)時(shí)，北方出了不少算書，除《鈴經(jīng)》外，還有《照膽》、《如積釋鎖》、《復(fù)軌》等，這無(wú)疑為李冶的數(shù)學(xué)研究提供了條件。特別值得一提的是，他在桐川得到了洞淵的一部算書，內(nèi)有九客之說(shuō)，專講勾股容圓問(wèn)題。此書對(duì)他啟發(fā)甚大。為了能全面、深入地研究天元術(shù)，李冶把勾股容圓(即切圓)問(wèn)題作為一個(gè)系統(tǒng)來(lái)研究。他討論了在各種條件下用天元術(shù)求圓徑的問(wèn)題，寫成《測(cè)圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就。

測(cè)圓海鏡

《測(cè)圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內(nèi)切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。卷一的“識(shí)別雜記”闡明了圓城圖式中各勾股形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系以及它們與圓徑的關(guān)系，共六百余條，每條可看作一個(gè)定理（或公式），這部分內(nèi)容是對(duì)中國(guó)古代關(guān)于勾股容圓問(wèn)題的總結(jié)。后面各卷的習(xí)題，都可以在“識(shí)別雜記”的基礎(chǔ)上以天元術(shù)為工具推導(dǎo)出來(lái)。李冶總結(jié)出一套簡(jiǎn)明實(shí)用的天元術(shù)程序，并給出化分式方程為整式方程的方法。他發(fā)明了負(fù)號(hào)和一套先進(jìn)的小數(shù)記法，采用了從零到九的完整數(shù)碼。除O以外的數(shù)碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇O空位，沒(méi)有符號(hào)O。從現(xiàn)存古算書來(lái)看，李冶的《測(cè)圓海鏡》和秦九韶《數(shù)書九章》是較早使用O的，它們成書的時(shí)間相差不過(guò)一年?！稖y(cè)圓海鏡》重在列方程，對(duì)方程的解法涉及不多。但書中用天元術(shù)導(dǎo)出許多高次方程（最高為六次），給出的根全部準(zhǔn)確無(wú)誤，可見李冶是掌握高次方程數(shù)值解法的。

《測(cè)圓海鏡》不僅是我國(guó)現(xiàn)存最早的一部天元術(shù)著作，而且在體例上也有創(chuàng)新。全書基本上是一個(gè)演繹體系，卷一包含了解題所需的定義、定理、公式，后面各卷問(wèn)題的解法均可在此基礎(chǔ)上以天元術(shù)為工具推導(dǎo)出來(lái)。李冶之前的算書，一般采取問(wèn)題集的形式，各章（卷）內(nèi)容大體上平列。李冶以演繹法著書，這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)進(jìn)步。

《測(cè)圓海鏡》的成書標(biāo)志著天元術(shù)成熟，對(duì)后世有深遠(yuǎn)影響。元代王恂、郭守敬在編《授時(shí)歷》的過(guò)程中，曾用天元術(shù)求周天弧度。不久，沙克什用天元術(shù)解決水利工程中的問(wèn)題，收到良好效果。元代大數(shù)學(xué)家朱世杰說(shuō)：“以天元演之、明源活法，省功數(shù)倍?！鼻宕钤f(shuō)：“立天元者，自古算家之秘術(shù)；而海鏡者，中土數(shù)學(xué)之寶書也?！?/p>

益古演段

《測(cè)圓海鏡》的成書標(biāo)志著天元術(shù)成熟，它無(wú)疑是當(dāng)時(shí)世界上第一流的數(shù)學(xué)著作。但由于內(nèi)容較深，粗知數(shù)學(xué)的人看不懂。而且當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)不受重視，所以天元術(shù)的傳播速度較慢。李冶清楚地看到這一點(diǎn)，他堅(jiān)信天元術(shù)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)有力工具，同時(shí)深刻認(rèn)識(shí)到普及天元術(shù)的必要性。他在結(jié)束避難生活、回元氏縣定居以后，許多人跟他學(xué)數(shù)學(xué)，這使得他需要編寫教學(xué)用書，《益古演段》便是在這種情況下寫成的?！稖y(cè)困海鏡》的研究對(duì)象是離生活較遠(yuǎn)而自成系統(tǒng)的圓城圖式，《益古演段》則把天元術(shù)用于解決實(shí)際問(wèn)題，研究對(duì)象是日常所見的方、圓面積。李冶大概認(rèn)識(shí)到，天元術(shù)是從幾何中產(chǎn)生的。因此，為了使人們理解天元術(shù)，就需回顧它與幾何的關(guān)系，給代數(shù)以幾何解釋，而對(duì)二次方程進(jìn)行幾何解釋是最方便的，于是便選擇了以二次方程為主要內(nèi)容的《益古集》（11世紀(jì)蔣周撰）。正如《四庫(kù)全書·益古演段提要》所說(shuō)：“此法（指天元術(shù)）雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學(xué)者驟欲通之，茫無(wú)門徑之可入。惟因方圓冪積以明之，其理尤屆易見?！崩钜笔呛軜?lè)于作這種普及工作的，他在序言中說(shuō)：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉！”

《益古演段》全書64題，處理的主要是平面圖形的面積問(wèn)題，所求多為圓徑、方邊、周長(zhǎng)之類。除四道題是一次方程外，全是二次方程問(wèn)題，內(nèi)容安排基本上是從易到難。李冶在完成《測(cè)圓海鏡》之后寫《益古演段》，他對(duì)天元術(shù)的運(yùn)用自然會(huì)更加熟練。但他卻沒(méi)有像前者那樣，完全用天元術(shù)解題。書中新舊二術(shù)并列，新術(shù)是李冶的代數(shù)方法——天元術(shù)；舊術(shù)是蔣周的幾何方法——條段法，這是一種圖解法，因?yàn)榉匠谈黜?xiàng)常用一段一段的條形面積表示，所以得名。該書揭示了兩者的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)我們了解條段法向天元術(shù)的過(guò)渡、探討數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律有重要意義。書中常用人們易懂的幾何方法對(duì)天元術(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，這對(duì)于人們接受天元術(shù)是有好處的。該書圖文并茂，深入淺出，不僅利于教學(xué)，也便于自學(xué)。正如硯堅(jiān)序中的評(píng)價(jià)：“說(shuō)之詳，非若溟津黯淡之不可曉；析之明，非若淺近粗俗之無(wú)足觀?！边@些特點(diǎn)，使它成為一本受人們歡迎的數(shù)學(xué)教材，對(duì)天元術(shù)的傳播發(fā)揮了不小的作用。

《益古演段》的價(jià)值不僅在于普及天元術(shù)，理論上也有創(chuàng)新首先，李冶善于用傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理及各種等量關(guān)系來(lái)減少題目中的未知數(shù)個(gè)數(shù)，化多元問(wèn)題為一元問(wèn)題。其次，李冶在解方程時(shí)采用了設(shè)輔助未知數(shù)的新方法，以簡(jiǎn)化運(yùn)算：該書的問(wèn)題同《測(cè)圓海鏡》不同，所求量不是一個(gè)而是兩個(gè)、三個(gè)甚至四個(gè)。按古代方程理論：“二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之?！睉?yīng)該用方程組來(lái)解，所含方程個(gè)數(shù)與所求量個(gè)數(shù)一致。但解二次方程組要比解一元方程困難得多。李冶既已完善了天元術(shù)程序，便力圖提高它的一般化程度，用以解決各種多元問(wèn)題。他的主要方法是利用出入相補(bǔ)原理（即“一個(gè)平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來(lái)圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡(jiǎn)單的相等關(guān)系?！眳俏目≌Z(yǔ)）及等量關(guān)系來(lái)減少未知數(shù)，化多元為一元，找到關(guān)鍵的天元一。一旦這個(gè)天元一求出來(lái)，其他要求的量就可根據(jù)與天元一的關(guān)系，很容易求出了。

方程理論新進(jìn)展

李冶由于擺脫了幾何思維束縛，在方程理論上取得了四項(xiàng)進(jìn)展：

第一，他改變了傳統(tǒng)的把常數(shù)項(xiàng)看作正數(shù)的觀念，常數(shù)項(xiàng)可正可負(fù)，而不再拘泥于它的幾何意義。

第二，李冶已能利用天元術(shù)熟練地列出高次方程。在這里，未知數(shù)已具有純代數(shù)意義，二次方并非代表面積，三次方程也并非代表體積。

第三，李冶完整解決了分式方程問(wèn)題，他已懂得用方程兩邊同乘一個(gè)整式的方法化分式方程為整式方程。

第四，李冶已懂得用純代數(shù)方法降低方程次數(shù)。當(dāng)方程各項(xiàng)含有公因子xn（n為正整數(shù)）時(shí)，李冶便令次數(shù)最低的項(xiàng)為實(shí)，其他各項(xiàng)均降低這一次數(shù)。

此外，李冶還發(fā)明了負(fù)號(hào)，他的負(fù)號(hào)不同，是數(shù)字上畫一條斜線。而在國(guó)外，德國(guó)人是在15世紀(jì)才引入負(fù)號(hào)的。李冶還發(fā)明了一套相當(dāng)簡(jiǎn)明的小數(shù)記法，在李冶之前，小數(shù)記法離不開數(shù)名，如7.59875尺記作七尺五寸九分八厘七毫五絲。李冶則取消數(shù)名，完全用數(shù)碼表示小數(shù)，純小數(shù)在個(gè)位處寫0，帶小數(shù)于個(gè)位數(shù)下寫步，如0.25記作○=|||||，這種記法在當(dāng)時(shí)算是最先進(jìn)的。直到17世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家J·納普爾（1550—1617）發(fā)明小數(shù)點(diǎn)后，小數(shù)才有了更好的記法。

思想

1232年北渡黃河以前，李冶的哲學(xué)思想偏于孔孟，信守儒家學(xué)說(shuō)。但北渡之后，他的思想逐漸轉(zhuǎn)為向道家靠攏。從他的讀書筆記《敬齋古今黈》中展現(xiàn)的思想看來(lái)，他對(duì)莊子的思想理解甚為深刻，也很贊同。他對(duì)朱熹的理學(xué)思想并不全面認(rèn)同，認(rèn)為其中不通和有爭(zhēng)議的地方也十分多，不應(yīng)該盲目認(rèn)同。而他認(rèn)為“數(shù)學(xué)雖然是六藝中地位最低的一種技藝，但在實(shí)際生活中卻是最需要的”的思想，也有可能來(lái)源于莊子。

對(duì)數(shù)學(xué)的看法

和秦九韶一樣，李冶并不認(rèn)為算學(xué)是“九九賤技”，認(rèn)為“小數(shù)之假所以為大道所歸”，也就是說(shuō)“道”既來(lái)源于“小數(shù)”（技藝），又借“小數(shù)”而體現(xiàn)。他曾經(jīng)在《益古演段》序中說(shuō)過(guò)：“安知軒隸之秘不于是乎始？”（誰(shuí)知道軒轅隸首得道的秘訣不是始于數(shù)學(xué)呢？）也許通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)這種“小數(shù)”的追求也可以達(dá)到“技進(jìn)乎道”的境界。

李冶對(duì)當(dāng)時(shí)基于道教和理學(xué)的數(shù)學(xué)神秘主義不以為然。在《測(cè)圓海鏡》的序文中，李冶認(rèn)為自然之?dāng)?shù)（數(shù)字）雖然不可窮盡但數(shù)學(xué)的道理（自然之理）是可以推導(dǎo)的，而數(shù)學(xué)的道理如同黑暗中的光亮一般，只要明白了道理，就可以明白數(shù)學(xué)的奧妙。

文學(xué)思想

李冶也是一位著名的文學(xué)家，與好友元好問(wèn)并稱“元李”。由于其著作集《文集》已失佚，后世對(duì)他主要的文學(xué)思想的了解主要來(lái)源于他的《泛說(shuō)》與《敬齋古今黈》。

李冶文風(fēng)嚴(yán)謹(jǐn)。他曾說(shuō)：“文章有不當(dāng)為者五，茍作一也，徇物二也，欺心三也，蠱俗四也，不可以示子孫五也?！痹凇毒待S古今黈》中，他提出了自己的文學(xué)主張。他首先認(rèn)為，寫文章應(yīng)當(dāng)立足實(shí)際，但也要善于聯(lián)想，不應(yīng)當(dāng)穿鑿附會(huì)，無(wú)中生有。李冶還認(rèn)為，寫文章應(yīng)當(dāng)善于借鑒吸收前人的精華，為己所用，但他同時(shí)也嘲笑盲從古人的態(tài)度。對(duì)于詩(shī)文鑒賞，李冶認(rèn)為詩(shī)文的氣質(zhì)重于文采，重在骨格。

人性論

李冶在《敬齋古今黈》中闡述了自己對(duì)人性的看法。他認(rèn)為孟子的“性善論”只能說(shuō)明“萬(wàn)物皆有效善之質(zhì)”，即向善的可能性，而事實(shí)上是否向善，則取決于后天的環(huán)境。他認(rèn)為對(duì)人的欲望，不可過(guò)于約束，也不可不加限制，約束之心太過(guò)，就猶如拔苗助長(zhǎng)，而放任不理就猶如不耕耘一樣，都無(wú)法有好的效果。

其他著作

李冶在晚年還寫過(guò)《敬齋古今黈》與《泛說(shuō)》兩部?jī)?nèi)容豐富的著作?！斗赫f(shuō)》四十卷一書今已散佚，根據(jù)《元朝名臣事略》中的引用文段來(lái)看，是一本隨感錄，記錄李冶對(duì)世間事物的見解?！毒待S古今黈》是一本讀書筆記。另外，李冶生平亦作詩(shī)不少，《元詩(shī)選癸集》保存有五首。此外李冶還有《文集》四十卷、《璧書叢削》十二卷，均已失傳。

影響

天元術(shù)并非李冶的獨(dú)創(chuàng)，而是從金代起便在中國(guó)北方開始萌芽。據(jù)祖頤在《四元玉鑒后序》中的記載，李冶以前研究天元術(shù)的學(xué)者至少有蔣周、李文一、石信道、劉汝諧、李德載等等，但并未提到李冶。而除李冶之外，其它早期天元術(shù)的著作也已經(jīng)失傳。1303年朱世杰的《四元玉鑒》問(wèn)世，其中將天元術(shù)擴(kuò)展為含有天元、地元、人元和物元的“四元術(shù)”，即四元高次方程組的解法，將天元術(shù)發(fā)展到了一個(gè)新的高度。

明代算學(xué)比起宋元時(shí)期并沒(méi)有什么進(jìn)展，尤其是天元術(shù)因?yàn)槠D深難懂而少人研究，幾近失傳。明代顧應(yīng)祥曾經(jīng)撰寫《測(cè)圓海鏡分類釋術(shù)》，在序中稱“細(xì)考《測(cè)圓海鏡》，如求城徑即以二百四十為天元，半徑則以一百二十為天元，既知其數(shù)，何用算為？似不必立可也?！織l下細(xì)草，雖徑立天元一，反復(fù)合之，而無(wú)下手之處，使后學(xué)之士茫然無(wú)門路之可入?！空氯テ浼?xì)草，立一算術(shù)，……各以類分之，語(yǔ)義稍繁者，略加芟損，名曰《測(cè)圓海鏡分類釋術(shù)》。（仔細(xì)考查《測(cè)圓海鏡》，求直徑時(shí)就令二百四十為天元，求半徑的話則令一百二十為天元，既然已經(jīng)知道了天元的大小，為什么還要設(shè)天元呢？似乎沒(méi)有必要”，完全沒(méi)有明白天元術(shù)中天元為未知數(shù)的含義。他認(rèn)為書中“每道題的演算中，雖然設(shè)立天元，但反復(fù)查看，覺(jué)得無(wú)從下手，后來(lái)的學(xué)習(xí)者茫然摸不到門道）”，因而將《測(cè)圓海鏡》中關(guān)于立天元列方程的演算全部刪去，只留下用開方術(shù)解方程的過(guò)程，以方便后人學(xué)習(xí)。李儼認(rèn)為宋金元發(fā)展起來(lái)的天元術(shù)至此已被遺忘。

十八世紀(jì)時(shí)，隨著西洋算學(xué)傳入中國(guó)，李冶等人的天元術(shù)著作才被后來(lái)的數(shù)學(xué)家重新發(fā)現(xiàn)。清朝梅瑴成（梅文鼎之孫）曾經(jīng)研讀顧應(yīng)祥的《測(cè)圓海鏡分類釋術(shù)》，對(duì)其中的天元之術(shù)感到不解，后來(lái)在研習(xí)西方的“借根方”法時(shí)發(fā)現(xiàn)所謂的“借根”就是“立天元”（都是設(shè)未知數(shù)），方才重新開始認(rèn)識(shí)天元術(shù)。之后，《四元玉鑒》等其它天元術(shù)著作也被重新認(rèn)識(shí)。后來(lái)的《四庫(kù)全書》中收錄了李潢家藏本的《測(cè)圓海鏡》。1798年，清代大藏書家鮑廷博刊印的《知不足齋叢書》中收錄了李銳?？钡摹稖y(cè)圓海鏡細(xì)草》十二卷。之后又有焦循和李銳在研究了《測(cè)圓海鏡》、《益古演段》和《術(shù)數(shù)九章》后寫的《天元一釋》和《開方通釋》兩書，用較為明白的語(yǔ)言詳細(xì)解釋了李冶的天元術(shù)和秦九韶的正負(fù)開方術(shù)。至此，天元術(shù)和現(xiàn)代的方程論逐漸融合，而十八世紀(jì)末期以后方程論的研究也開始蓬勃發(fā)展。之后的相關(guān)作品包括1861年朝鮮數(shù)學(xué)家南秉哲著的《海鏡細(xì)草解》、1873年張楚鐘的《測(cè)圓海鏡識(shí)別詳解》、1896年劉岳云出版的《測(cè)圓海鏡通釋》、1898年葉耀元《測(cè)圓海鏡解》，還有李善蘭的《測(cè)圓海鏡解》等等。

現(xiàn)代研究

二十世紀(jì)以來(lái)，李冶作為中國(guó)歷史上重要的數(shù)學(xué)家，其思想和著作被許多學(xué)者所研究。李儼、錢寶琮、梅榮照都曾經(jīng)對(duì)李冶和他的著作進(jìn)行過(guò)研究和考證?？讎?guó)平的《李冶傳》是第一本全面論述李冶生平及學(xué)術(shù)成就的專著。白尚恕、李迪、郭書春、沈康身、洪萬(wàn)生等對(duì)李冶都有深入的研究。李冶和楊輝、秦九韶、朱世杰一起被認(rèn)為是宋元時(shí)期的四大數(shù)學(xué)家。

1982年法國(guó)林立娜（K. Chemla）以測(cè)圓海鏡為題的論文獲得巴黎大學(xué)博士學(xué)位。

名字的考證

關(guān)于李冶的名字，《元朝名臣事略》、《元史本傳》、《永樂(lè)大典》、《四庫(kù)全書總目》、《皕宋樓藏書志》等都寫作李冶?？论繌朐凇缎略贰分姓f(shuō)李冶本名治，后改成冶。清朝的施國(guó)祁認(rèn)為李冶真名應(yīng)該是李治，而被稱為李冶是后來(lái)以訛傳訛之誤?？娷鯇O在《藕香零拾》中也為這種說(shuō)法提出三條佐證：首先元代王惲的《中堂記事》中有“李治，授翰林學(xué)士，知制誥，同修國(guó)史”的記載，與李冶的經(jīng)歷相吻合。其次，元好問(wèn)的《金故少中大夫程震墓碑》中由李冶題額，上面刻的是李治而不是李冶。最后，元好問(wèn)在為李冶父親寫的墓志銘上有寫其三個(gè)兒子的名字，其中李冶的名字被寫為李治。他的兄弟名字分別是李澈和李滋。按照漢人起名的習(xí)慣，李冶作為三兄弟之一，姓名也應(yīng)該是五行帶水的。余嘉錫在《四庫(kù)提要辨證》中亦詳加考證，說(shuō)明李冶原來(lái)應(yīng)該叫李治，但后來(lái)改為冶。